Rovnica roviny: ako sa robí? Druhy rovina rovnica

Rovina priestor možno definovať rôznymi spôsobmi (jeden bod a vektora, vektora a dva body, tri body, atď.). Práve s ohľadom na túto skutočnosť, že lietadlo rovnica môže mať rôzne typy. Tiež za určitých podmienok môžu byť roviny rovnobežné, kolmé, pretínajúce sa, atď. Na základe tohto a bude hovoriť v tomto článku. Naučíme sa robiť všeobecné rovnice roviny a nielen to.

Normálne forma rovnice

Predpokladajme, že R je priestor _3, ktorý má pravouhlý systém súradníc XYZ. Definujeme vektor α, ktoré budú uvoľnené z východiskového bodu O. Do konca vektora alfa čerpať rovine P, ktorá je kolmá k nej.

Označme P v ľubovoľnom bode Q = (x, y, z). Polomer vektor bod Q znamienko písmeno P. Dĺžka vektora sa rovná alfa P = lal a Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Tento jednotkový vektor, ktorý smeruje v smere ako vektora a. α, β a γ - sú uhly, ktoré sú vytvorené medzi vektorom a pozitívnom smere Ʋ priestorové osi x, y, z, resp. Priemet bodu na vektora QεP Ʋ je konštanta, ktorá sa rovná p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Vyššie uvedená rovnica je zmysluplné, keď p = 0. Jediným n rovina, v tomto prípade sa cez bod O (α = 0), čo je začiatok a jednotkový vektor Ʋ, uvoľneného z bodu O bude kolmá na P, aj keď jeho smeru, čo znamená, že vektor Ʋ určená až do znamenia. Predchádzajúci rovnica je naša lietadlo P, vyjadrené v vektorovej podobe. Ale vzhľadom na jeho súradníc je:

P je väčší alebo rovné 0. Bolo zistené, rovina rovnica v normálnej forme.

Všeobecná rovnica

V prípade, že rovnica v súradniciach násobiť ľubovoľným počtom, ktorý nie je rovný nule, dostaneme rovnice zodpovedajúce to, ktorá definuje samotnú rovinu. To bude mať nasledujúce podobu:

Tu, A, B, C - je počet súčasne odlišné od nuly. Táto rovnica sa nazýva rovnica všeobecnú formu lietadla.

Rovnica rovín. Osobitné prípady

Rovnica môže byť všeobecne upravený s ďalšími podmienkami. Zoberme si niektoré z nich.

Predpokladajme, že koeficient A je 0. To znamená, že rovina paralelné k vopred stanovenej osi Ox. V tomto prípade sa forma rovnice zmení: Wu + Cz + D = 0.

Podobne, forma rovnice a bude sa meniť s nasledujúcimi podmienkami:

• Po prvé, v prípade, B = 0, rovnica zmeny Ax + CZ + D = 0, čo znamená, že sa rovnobežnosť osi Oy.
• Po druhé, v prípade, C = 0, rovnica je transformovaná do Ax + By + D = 0, to znamená, že približne paralelne k vopred stanovenej osi Oz.
• Po tretie, ak D = 0, rovnica sa zobrazí ako Ax + By + Cz = 0, čo by znamenalo, že rovina pretína O (pôvod).
• Po štvrté, ak je A = B = 0, rovnica zmeny CZ + D = 0, čo sa ukáže rovnobežnosti Oxy.
• Za piate, v prípade, B = C = 0, rovnica sa Ax + D = 0, čo znamená, že rovina je rovnobežná s Oyz.
• Po šieste, keď A = C = 0, rovnica formu Wu + D = 0, tj. Bude hlásiť do rovnobežnosti Oxz.

Forma rovnice v segmentoch

V prípade, keď čísla A, B, C, D sa líši od nuly, forma rovnice (0), môže byť nasledujúce:

x / a + y / b + Z / c = 1,

kde A = D / A, B = D / B, c = D / C

Dostávame ako výsledok rovnice roviny v kusoch. Je potrebné poznamenať, že táto rovina pretína os x v bode o súradniciach (a, 0,0), Oy - (0, B, 0), a Oz - (0,0, s).

Vzhľadom k tomu, rovnice x / a + y / b + Z / c = 1, nie je ťažké si predstaviť umiestnenie rovine vzhľadom k vopred určené súradnicového systému.

Súradnice vektora normály

Normálny vektor n k rovine P, má súradnice, ktoré sú koeficienty všeobecné rovnice roviny, to znamená N (A, B, C).

Na určenie súradníc normálneho n, je postačujúce poznať všeobecnú rovnicu uvedenej roviny.

Pri použití rovnice v segmentoch, ktorý je v podobe x / a + y / b + Z / c = 1, keď sa pri použití všeobecnej rovnice možno zapísať súradnice ľubovoľného bežného vektora daná rovina: (1 / + 1 / b + 1 / c).

Je potrebné poznamenať, že bežná vektor pomáha riešiť rôzne problémy. Medzi najbežnejšie problémy spočívajúce v dôkaz kolmých alebo rovnobežných rovinách, za úlohu nájsť uhly medzi rovinami alebo uhly medzi rovinami a rovných čiar.

Sem podľa roviny rovnice a súradnice bodu vektora normály

Nenulové vektor n, kolmo k danej rovine, tzv normálny (normálny) do vopred určenej rovine.

Predpokladajme, že v priestore súradníc (pravouhlý systém súradníc) Oxyz nastaviť:

• Mₒ bod so súradnicami (hₒ, uₒ, zₒ);
• nulový vektor n = A * i + B * j + C * k.

Je potrebné, aby rovnica roviny, ktorá prechádza Mₒ bodu kolmo k normálnemu n.

V priestore zvolíme ľubovoľný bod a značí M (x, y, z). Nech polomer vektor každého bodu M (x, y, z), bude r = x * i + y * j + z * k, a polomer vektor bodu Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Bod M bude patriť k danej rovine, v prípade, že vektor MₒM byť kolmý k vektora n. Píšeme podmienku ortogonality pomocou skalárny súčin:

[MₒM, n] = 0.

Vzhľadom k tomu, MₒM = r-rₒ bude vektor rovnica roviny vyzerať napríklad takto:

[R - rₒ, n] = 0.

Táto rovnica môže mať aj iný tvar. Pre tento účel, vlastnosti skalárneho súčinu a prevedené na ľavú stranu rovnice. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Ak je [rₒ, n] označený ako S, získame nasledovné rovnice: [r, n] - a = 0 alebo [R, n] = S, ktorý vyjadruje stálosť výstupkov normálovým vektorom polomeru vektorov susednými body, ktoré patria rovinu.

Teraz môžete získať súradníc typ záznamové roviny naše vektor rovnice [r - rₒ, n] = 0. Vzhľadom k tomu, r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, a n = A * i + b * j + C * k, máme:

Ukazuje sa, že máme rovnica je vytvorená rovina prechádzajúca bodom kolmo ku kolmici N:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Sem podľa roviny rovnice a súradnice dvoch bodov vektor roviny kolineárne

Definujeme dva ľubovoľné body M '(x', y 'z') a M "(x", y ", Z"), ako aj vektor (A ', A ", čo je' '').

Teraz môžeme napísať rovnicu vopred určenej roviny, ktorá prechádza cez existujúcu bodu M, a M ", a každý bod so súradnicami M (x, y, z), rovnobežné s daného vektora.

Tak M'M vektory x = {x 'y-y', zz '} a M "M = {x" -x', y 'y', z "-Z,} by mal byť v jednej rovine s vektorom a = (a ', a "je' ''), čo znamená, že (M'M M" M, a) = 0.

Takže naše rovnice lietadlá v priestore bude vyzerať takto:

Typ roviny rovnice, cez tri body

Povedzme, že máme tri body: (x 'y', z '), (x', y 'z'), (x '' '' '' Have, z '' '), ktoré nepatria k rovnakej linke. Je nutné napísať rovnicu roviny prechádzajúcej troma bodmi špecifikované. Teória geometrie tvrdí, že tento druh lietadla neexistuje, je to len jeden a jediný. Pretože táto rovina pretína bodu (x, y ', z,), jeho tvar rovnice bude:

Tu, A, B, a C sa líši od nuly v rovnakom čase. Aj vzhľadom k tomu, rovina pretína ďalšie dva body (x "y", z "), a (x '' ', y' '', z '' '). V tejto súvislosti by mala byť vykonaná tento druh podmienok:

Teraz môžeme vytvoriť jednotný systém rovníc (lineárne) s neznámymi u, v, w:

V našom prípade, že X, Y alebo Z predstavuje ľubovoľný bod, ktorý spĺňa rovnice (1). Vzhľadom k tomu, rovnice (1), a sústavu rovníc (2) a (3) Systém rovníc je uvedené na obrázku vyššie, vektor spĺňa N (A, B, C), ktorý je netriviálne. Je to preto, že určujúcim prvkom systému je nulová.

Rovnica (1), ktoré máme, to je rovnica roviny. 3-bodový naozaj ide, a je ľahko kontrolovateľná. K tomu, aby sme rozšíriť determinant živlami v prvom riadku. Zo existujúce vlastnosti determinant vyplýva, že naše lietadlo súčasne pretína tri pôvodne vopred stanoveného bodu (x 'y', z,), (x "y", z "), (x '' ', y' '', z '' '). Tak sme sa rozhodli úloha pred nami.

Uhol vzopätia medzi rovinami

Uhol vzopätia je priestorový geometrický tvar tvorený dvoma polovičnými rovín, ktoré vychádzajú z priameho smeru. Inými slovami, časť priestoru, ktorý je obmedzený na polrovine.

Predpokladajme, že máme dve roviny s nasledujúcimi rovnicami:

Vieme, že vektor N = (A, B, C) a N¹ = (A¹, V¹, s¹) podľa vopred stanovených rovinách sú kolmé. V tomto ohľade je uhol φ medzi vektormi N a N¹ rovnoramenné (priestorový uhol), ktorý je umiestnený medzi týmito rovinami. Skalárny súčin je daná vzťahom:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

práve preto,

cos = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (a? + s? + V²)) * (√ (A¹) ² + (V¹) ² + (s¹) ²)).

To je dosť, aby zvážila, že 0≤φ≤π.

Vlastne dvoch rovín, ktoré sa pretínajú, tvoria dve uhol (vzopätie): cp ₁ a φ _2. Ich súčet je rovný n (cp ₁ + ₂ = cp n). Čo sa týka ich cosines, ich absolútne hodnoty sú rovnaké, ale sú rôzne značky, to znamená, že cos ₁ = -cos φ _2. Ak sa v rovnici (0) nahrádza A, B a C-A, -B a -C respektíve rovnice získame, určí v rovnakej rovine, jediný uhol φ v rovnici cos f = NN ¹ / | N || N ¹ | To bude nahradená n-cp.

Rovnica kolmej rovine

Called kolmé rovine, medzi ktorými je uhol je 90 stupňov. Použitie materiálu je uvedené vyššie, možno nájsť rovnice rovine kolmej na druhú. Predpokladajme, že máme dve roviny: Ax + By + Cz + d = 0, a + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Dá sa povedať, že sú kolmé ak cos = 0. To znamená, že NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Rovnica rovine rovnobežnej

To sa odkazovalo na dvoch paralelných rovinách, ktoré neobsahujú žiadne spoločné body.

Podmienkou paralelných rovinách (ich rovnice sú rovnaké ako v predchádzajúcom odseku), je to, že vektory N a N¹, ktoré sú kolmé k nim, kolineárne. To znamená, že sú splnené tieto podmienky primeranosti:

A / A¹ = B / C = V¹ / s¹.

Ak sú proporcionálne termíny rozšírila - A / A¹ = B / C = V¹ / s¹ = DD¹,

to znamená, že dátové rovine rovnaké. To znamená, že rovnica Ax + By + Cz + D = 0 a + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 popisu jednej rovine.

Vzdialenosť od bodu k rovine

Predpokladajme, že máme rovine P, ktorá je daná (0). Je potrebné nájsť vzdialenosť od bodu o súradniciach (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Je potrebné uviesť rovnicu do normálneho vzhľadu roviny II, aby ju:

(Ρ, v) = p (r≥0).

V tomto prípade, ρ (x, y, z) je polomer vektor nášho bodu Q, ktorý sa nachádza na n p - n je dĺžka kolmice, ktorý bol prepustený z nulového bodu, v - je jednotkový vektor, ktorý je usporiadaný v smere a.

Rozdiel ρ-ρº polomer vektor z bodu Q = (x, y, z), ktoré patria do n a polomer vektor danom bode Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) je taký vektor, absolútna hodnota projekcie na v rovná vzdialenosť d, ktorá je nutné nájsť z Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, ale

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Tak to dopadá,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Teraz je jasné, že pre výpočet vzdialenosti D od ₀ do Q rovine P, je nutné použiť normálne pôdorysný pohľad, rovnice, posun vľavo p, a posledné miesto, x, y, z náhradnej (hₒ, uₒ, zₒ).

Preto sme tu absolútna hodnota výsledného výrazu, ktorý je vyžadovaný d.

Pomocou parametrov jazyka, dostaneme zrejmé:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (a? + V² + s?).

Ak je určený bod Q ₀ je na druhej strane od roviny P, ako je pôvod, potom medzi vektorom ρ-ρ ⁰ a v je tupý uhol, teda:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

V prípade, že bod Q ₀ v spojení s pôvodom sa nachádza na rovnakej strane U, je vytvorený ostrý uhol, ktorý je:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Výsledkom je, že v prvom prípade (pc ^0, v)> p, v druhom (pc ^0, v)

A jej dotýkajúca rovina rovnica

Pokiaľ ide o rovinu na povrchu v bode styku mô - rovina obsahujúca všetky možné dotyčnicu k krivkou vedenou tomto bodu na povrchu.

Vďaka tejto povrchovej formy rovnice F (x, y, z) = 0 v rovnici dotýkajúcej roviny tangenciálnom bode mô (hº, uº, zº) by bolo:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Ak je povrch nastavený explicitne z = f (x, y), potom sa dotyková rovina je popísaná rovnicou:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Priesečník dvoch rovinách

V trojrozmernom priestore je systém súradníc (obdĺžnikový) Oxyz, vzhľadom k tomu dve roviny P, a P ', ktoré sa prekrývajú a nesplývajú. Vzhľadom k tomu, akejkoľvek rovine, ktorá je v pravouhlom súradnicovom systéme definovaná všeobecnou rovnicou, predpokladáme, že n, a n "sú definované rovnicami A'x + V'u S'z + + D '= 0 a A" + B x' + y s "z + D" = 0. V tomto prípade majú normálnu n '(A', B 'C') a rovinou P 'a bežnú n "(A", B "C") v rovine P'. Ako sa naše lietadlo nie sú rovnobežné a nezhodujú, potom tieto vektory nie sú kolineárne. Užívanie jazyka matematiky, musíme tento stav môže byť zapísaný ako: n '≠ n "È (A', B 'C') ≠ (lambda * a", λ * v "λ * C"), λεR. Nech je priamka, ktorá leží na križovatke P, a P ", bude označený písmenom a, v tomto prípade = P'∩ P".

a - linka sa skladá z väčšieho počtu bodov (spoločné) roviny P, a P ". To znamená, že súradnice akomkoľvek mieste, ktoré patrí do línie A, musí súčasne spĺňať rovnicu A'x + V'u S'z + + D '= 0 a A "x + B' + C y" z + D "= 0. To znamená, že súradnice bodu bude konkrétne riešenie týchto rovníc:

Výsledkom je, že roztok (celkový) tejto sústavy rovníc sa určenie súradníc každého z bodov na líniu, ktorá bude pôsobiť ako priesečník P, a P ", a stanovenie riadok v súradnicovom systéme Oxyz (obdĺžnikový) priestor.