Problémy riešené rovnice. Riešenie problémov v matematike

V priebehu školy matematiky potrebných na splnenie cieľov. Niektoré z nich sú skrotený v niekoľkých krokoch, iné vyžadujú určité puzzle.

Problémy riešené podľa rovnice, len na prvý pohľad je ťažké. Ak máte prax, proces prejde do automatického režimu.

geometrické tvary

Aby bolo možné pochopiť otázku, musíte sa dostať k jadru. Starostlivo pochopiť význam podmienke, že je lepšie, aby znovu prečítať niekoľkokrát. Výzvy pre rovnicu len na prvý pohľad ťažké. Zoberme si príklad spustiť najjednoduchšie.

Dan obdĺžnik, je nutné nájsť jeho území. Vzhľadom k tomu ,: šírka u 48% menšia, než je dĺžka obvodu obdĺžnika je 7,6 cm.

Riešenie problémov v matematike vyžaduje starostlivé vchityvaniya, logiku. Spolu, poďme sa s tým vysporiadať. Čo by ste mali v prvom rade brať do úvahy? Označíme dĺžku x. Preto sa v tejto rovnici, šírka bude 0,52h. Sme sú uvedené obvode - 7,6 centimetra. Nájdeme semiperimeter Tento 7,6 centimetrov delené 2, to sa rovná 3,8 centimetrov. Máme rovnicu, ktorú nájdeme na dĺžku a šírku:

0,52h + x = 3,8.

Keď sa dostaneme x (dĺžka), je ľahké nájsť a 0,52h (šírka). Ak poznáme tieto dve hodnoty, nájdeme odpoveď na hlavnú otázku.

Problémy riešené rovnice, nie je tak zložité, ako sa zdá, že môžeme pochopiť z prvého príkladu. Zistili sme, dĺžka x = 2,5 cm, šírka (y) oboznchim 0,52h = 1,3 cm. Presunúť do tejto oblasti. Jedná sa o jednoduchý vzorec S = x * y (pre obdĺžniky). V našom probléme S = 3,25. To bude odpoveď.

Pozrime sa na príklady riešenia problémov s hľadaním miesta. A tentoraz vezmeme obdĺžnik. Riešenie problémov matematiky na nájdenie obvod alebo rôzne čísla pomerne často. Čítame vyhlásenie problému: daný obdĺžnik, jeho dĺžka je 3,6 cm väčšia šírka, ktorá je 1/7 obvodu na obrázku. Určíme plochu obdĺžnika.

Bude vhodné určiť šírku premenné x, a dĺžka (x + 3,6) cm. Nájdeme obvod:

P = 2 + 3,6.

Nemôžeme vyriešiť rovnicu, pretože to máme v dvoch premenných. Preto sa pozrieme opäť podmienku. To hovorí, že šírka je rovná 1/7 obvodu. Dostaneme rovnicu:

1/7 (2 + 3,6) = x.

Pre pohodlie riešenie, vynásobíme každú stranu rovnice 7, takže sa zbavíme frakcie:

2 + 3,6 = 7x.

Potom, čo sme získať riešenie x (šírka) = 0,72 cm. Poznať šírka, dĺžka nález:

0,72 + 3,6 = 4,32 cm.

Teraz vieme, že dĺžka a šírka odpovedá na hlavnú otázku, čo je plocha obdĺžnika.

S = x * y, S = 3.1104 cm.

plechovky mlieka

Riešenie problémov pomocou rovnice spôsobuje mnoho problémov v škole, a to napriek skutočnosti, že táto otázka začína vo štvrtej triede. Existuje mnoho príkladov, sme sa zaoberali pri určovaní oblastí postáv, teraz trochu odbočiť od geometrie. Pozrime sa na jednoduchá úloha s prípravou stolov, pomáhajú vizuálne: ako údaje na pomoc pri riešení viditeľnejšie.

Vyzvite deti, aby čítal stav problému a vytvoriť tabuľku ako pomoc pri zostavovaní rovnice. To je podmienka: existujú dve plechovky, prvé tri krát viac ako v druhom. V prípade, že prvý naleje päť litrov v druhom, mlieko bude rovnomerne rozdelené. Otázka: koľko plechoviek mlieka v každej?

Aby pomohla riešiť potrebu vytvoriť tabuľku. Ako by mal vyzerať?

rozhodnutie

	to bolo	to sa stalo
1 plechovka	3	3-5
2 plechovky	x	x + 5

Ako to pomôže pri navrhovaní tejto rovnice? Vieme, že v dôsledku toho je mlieko bola rovnaká, rovnica bude teda nasledujúce:

3-5 + x = 5;

2 = 10;

x = 5.

Zistili sme, aby počiatočné množstvo mlieka do kanví, v druhom, potom prvé bolo: 5 * 3 = 15 litrov mlieka.

Teraz trochu vysvetlenie na stole výkresu.

Preto sme prvé plechovky značený 3: v stave, stanovené, že mlieko je trikrát menej ako v druhej plechoviek. Potom sa môžeme dočítať, že prvých 5 litrov plechoviek unikli, a preto sa stal - 3: 5, a druhý sa naleje: x + 5. Prečo dať znamienko rovnosti medzi oboma pojmami? Podmienky tohto problému uvádza, že mlieko sa stal rovnako.

Tak dostaneme odpoveď: Prvý plechovky - 15 litrov, a druhá - 5 litrov mlieka.

stanovenie hĺbky

Podľa tohto problému: hĺbke prvej jamky o 3,4 metra väčšie než druhá. Prvá jamka sa zvýšila o 21,6 metrov, a druhá - trikrát, potom, čo tieto akcie jamky majú rovnakú hĺbku. Musíte spočítať, čo je hĺbka každej jamky bol pôvodne.

Spôsoby riešenia problémov sú početné, môže byť vykonané na akt znamenajúci rovnice alebo ich systéme, ale najvhodnejšie druhej voľby. Ak chcete prejsť k rozhodnutiu sotavim stolu, rovnako ako v predchádzajúcom prípade.

rozhodnutie

	to bolo	to sa stalo
1 jamka	+ 3,4 x	x + 3,4 + 21,6
2 dobre	x	3

Pristúpime k príprave rovnice. Vzhľadom k tomu, hĺbka dobre stať rovnaké, má nasledujúce tvar:

x + 3,4 + 21,6 = 3;

x - 3 = -25;

-2x = -25;

x = -25 / -2;

x = 12,5

Zistili sme, pôvodná hĺbka druhej jamke, môžete nájsť prvý:

12,5 + 3,4 = 15,9 m.

Potom, čo sú vykonané akcie zaznamenaná odpoveď: 15,9 m, 12,5 m.

dvaja bratia

Všimnite si, že tento problém sa líši od všetkých predchádzajúcich tie, pretože podmienkou bola pôvodne rovnaký počet položiek. V súlade s tým, je pomocný stôl sa uskutoční v opačnom poradí, tj, z "sa stal" a "je".

Stav: dvaja bratia dali rovnako orechy, ale staršie dal jeho bračeka 10, po ktorej mladší Boli orechy päťkrát viac. Koľko orechy sú teraz každý chlapec?

rozhodnutie

	to bolo	to sa stalo
senior	x + 10	x
mladší	5x - 10	5x

odpovedá:

x = 10 + 5 x - 10;

-4H = -20;

x = 5 - orechy bol jeho starší brat;

5 * 5 = 25 - mladší brat.

Teraz môžete napísať odpoveď: 5 orechy; 25 orechy.

nákup

Škola potrebuje kúpiť knihy a zošity, z ktorých prvá je drahšie druhý na 4,8 rubľov. Musíte spočítať, koľko je jedna kniha a jediná kniha, v prípade, že nákup dvadsaťpäť kníh a jeden notebook zaplatil rovnakú sumu peňazí.

Predtým, než sa pristúpi k riešeniu, je nutné odpovedať na nasledujúce otázky:

• Čo je to za problém?
• Koľko budete platiť?
• Čo kúpiť?
• Aké hodnoty je možné vyrovnať so sebou?
• Čo by ste mali vedieť?
• Aká je hodnota považovaná za x?

Ak ste odpovedali na všetky otázky, potom pokračovať do rozhodnutia. V tomto príklade sa ako hodnota x je považované za cenu notebooku, a náklady kníh. Zoberme si dve možnosti:

1. x - hodnota notebooku, potom x + 4,8 - cena knihy. Na základe tohto, dostaneme rovnice: 5 = 21x (x + 4,8).
2. x - náklady na knihy, potom x - 4.8 - cena notebookov. Rovnica má tvar: 21 (x - 4,8) = 5x.

Môžete si vybrať pre seba vhodnejšie voľbu, potom riešime dve rovnice a porovnať odpovede, av dôsledku toho musia byť rovnaké.

prvá metóda

Riešenie prvej rovnice:

5 = 21x (x + 4,8);

4,2h = x + 4,8;

4,2h - x = 4,8;

3.2x = 4,8;

x = 1,5 (rubľov) - hodnota jedného bloku;

4,8 + 1,5 = 6,3 (rubľov) - náklady na jednu knihu.

Ďalší spôsob, ako riešiť túto rovnicu (otvor zátvorkách):

5 = 21x (x + 4,8);

21x = 5x + 24;

16X = 24;

x = 1,5 (rubľov) - hodnota jedného bloku;

1,5 + 4,8 = 6,3 (rubľov) - náklady na jednu knihu.

druhý spôsob

5x 21 = (x - 4,8);

5x = 21x - 100,8;

16X = 100,8;

x = 6,3 (rubľov) - cena za 1 knihy;

6,3 - 4,8 = 1,5 (rubľov) - náklady na notebooku.

Ako je zrejmé z príkladov, odpovede sú identické, preto je problém správne vyriešený. Dávajte pozor na správne rozhodnutie, v našom prípade nemá odpoveď je záporná.

Existujú aj iné problémy, ktoré treba riešiť pomocou rovnice, ako je pohyb. Zoberme si podrobnejšie v nasledujúcich príkladoch.

dve autá

V tejto časti sa zameriame na pohybových úloh. Aby bolo možné ich riešiť, musíte poznať nasledujúce pravidlo:

S = V * T,

S - vzdialenosť, V - rýchlosť, T - čas.

Pozrime sa na príklad.

nechal súčasne z bodu A na auto do bodu B. Prvý Celková vzdialenosť prejdená pri rovnakej rýchlosti, v prvej polovici druhej dráhy pohybujúce sa rýchlosťou 24 km / h, a druhý - 16 km / h. Je potrebné určiť rýchlosť prvého motoristov do B v prípade, že prišiel v rovnakej dobe.

To, čo potrebujeme pre zostavenie rovnice: hlavná premenná V ₁ (rýchlosť prvého vozidla), minor: S - cesta T ₁ - prvýkrát v aute cestou. Rovnica: S = V ₁ * T _1.

Ďalej: prvá polovica druhej dráhy vozidla (S / 2) riadil pri rýchlosti V ₂ = 24 km / h. Získame výrazu: S / 24 * 2 = _T2.

Ďalšia časť cesty je cestoval pri rýchlosti V ₃ = 16 km / h. Získame S / 2 = 16 * T _3.

Ďalej je vidieť z predpokladu, že vozidlá prišiel súčasne, teda T ₁ = _T2 + T _3. Teraz musíme vyjadriť premennú T _1, T _2, T ₃ z našich predchádzajúcich podmienok. Dostaneme rovnica: S / V ₁ = (S / 48) + (S / 32).

S prijať jednotku a riešiť rovnice:

1 / V ₁ = 1/48 + 1/32;

1 / V _{1 = (2/96) + (3/96} ) ;

1 / V ₁ = 5/96;

V ₁ = 96/5;

V ₁ = 19,2kmh.

To je odpoveď. Problémy riešené rovnice, zložité na prvý pohľad. Okrem vyššie naznačených problémov môžu stretnúť v práci, to, čo je popísané v ďalšej časti.

pracovnú úlohu

Ak chcete vyriešiť tento typ práce, ktorú je potrebné poznať vzorec:

A = VT,

kde A - je práca, V - produktivita.

Pre podrobnejší popis potrebe dať príklad. Predmet "riešenie problémov rovnice" (stupeň 6), nemôžu obsahovať také problémy, pretože je ťažšie úrovni, ale napriek tomu uviesť príklad pre referenciu.

Pozorne si prečítajte podmienky: Dvaja pracovníci spolupracovať a realizovať plán na dvanásť dní. Je potrebné určiť, ako dlho trvá prvého zamestnanca vykonávať rovnaké pravidlá samy. Je známe, že sa vykonáva po dobu dvoch dní množstvo práce ako druhá osoba v troch dňoch.

Riešenie problémov zostavovaní rovníc vyžaduje starostlivé čítanie podmienok. Prvá vec, ktorú sme sa naučili od problému, že práca nie je definovaná, potom si ju ako celok, to znamená, že A = 1. V prípade, že problém sa týka niekoľko častí, alebo litre, práca by mala trvať od tohto dátumu.

Označíme priepustnosť prvého a druhého pôsobí prostredníctvom V ₁ a V _2, v tomto poradí, v tejto fáze, môže vychádzať z nasledujúcej rovnice:

1 = 12 (V ₁ + V _2).

Čo táto rovnica nám hovorí? Že všetky práce sa vykonáva dve osoby za dvanásť hodín.

Potom môžeme povedať: 2V ₁ = 3V _2. Vzhľadom k tomu, prvý, kto robí, rovnako ako druhý z troch na dva dni. Máme sústavu rovníc:

12 1 = (V1 + V2);

2V = 3V _{1 2.}

Na základe výsledkov riešenie systému, sme získali rovnicu s jednou premennou:

1 - 8V = 12 _{1 1;}

V ₁ = 1/20 = 0,05.

Jedná sa o prvý pracovný produktivitu. Teraz môžeme nájsť čas, v ktorom sa vyrovnať s všetku prácu prvej osoby:

A = V ₁ * T _1;

1 = 0,05 * T _1;

T ₁ = 20.

Vzhľadom k tomu, za jednotku času bol prijatý v deň, odpoveď je: 20 dní.

preformulovanie problému

Ak ste dobre zvládli potrebné zručnosti pre riešenie problémov v pohybe, a s cieľmi úlohu, ktorú majú určité ťažkosti, je možné pracovať sa dostať prevádzky. Ako? Ak budete mať posledný príklad, bude tento stav takto: Oleg a Dima sa pohybujú smerom k sebe, k nim dôjde po 12 hodinách. U koľkých spôsob, ako prekonať vlastné Oleg, ak viete, že sa jedná o dve hodiny prechádza vzdialenosť rovnajúcu spôsob Dima tri hodiny.