Fourierova transformácia. Rýchla Fourierova transformácia. Diskrétne Fourierova transformácia

Fourierova transformácia - transformácia, ktorá združuje určitú funkciu reálnej premennej. Táto operácia sa vykonáva zakaždým, keď vnímame rôzne zvuky. Ucho produkuje automatické "výpočet", ktoré spĺňajú naše môžu vedomie až po preskúmaní úseku vyššej matematiky. sluchového orgánu v ľudskom transformáciu konštrukty, v ktorých je zvuk (konvenčná vibračný pohyb častíc v pružné médiu, ktoré sa šíria vo forme vlny v pevnej, kvapalnej alebo plynnej médium) za predpokladu, v rozmedzí po sebe idúcich hodnôt úrovne hlasitosti tónov rôznych výšok. Potom, mozog zmení informácie do celého známy zvuk.

Matematická Fourierova transformácia

Konverzia zvukových vĺn alebo iných procesov (vibrácií emisií svetla a oceánov prílivu a hviezdne alebo slnečných cyklov) môže byť vykonané aj pomocou matematických metód. Za použitia týchto techník, funkcia môže byť rozšírená zavedením vibračné procesy uvedené sínusových zložiek, tj zvlnené krivky, ktoré idú od minima do maxima a opäť na minimum, ako je vlna more. Fourierova transformácia - transformačné funkcie, ktorá popisuje fázy alebo amplitúdy každej sínusoidy, zodpovedajúce konkrétnej frekvenciu. Fáza je východiskovým bodom na krivke, a amplitúdy - jeho výška.

Fourierova transformácia (príklady sú zobrazené na fotografii) je veľmi mocný nástroj, ktorý sa používa v rôznych oblastiach vedy. V niektorých prípadoch sa používa vo forme roztoku pomerne zložité rovnice, ktoré popisujú dynamické procesy prebiehajúce pod vplyvom svetla, tepla alebo elektrickej energie. V ostatných prípadoch, to vám umožní definovať pravidelnou súčasťou komplexných priebehov, vďaka tomu môže byť pravda interpretovať rôzne experimentálne pozorovania v chémii, medicíne a astronómiu.

historické informácie

Prvá osoba použiť túto metódu bol francúzsky matematik Zhan Batist Fure. Konverzia, následne po ňom pomenovaný, bol pôvodne použitý popisovať mechanizmus vedenie tepla. Fourier celý svoj dospelý život zaoberajúce sa štúdiom vlastností tepla. Urobil obrovský prínos pre matematickú teóriu určenie koreňov algebraických rovníc. Fourier bol profesorom analýzy na Ecole Polytechnique, tajomníka egyptologického ústavu, bol cisársky servis, ktorý spôsobil rozruch v čase výstavby cesty do Turín (pod jeho vedením bol vypustený z viac ako 80 tisíc kilometrov štvorcových malarických močiarov). Avšak, to všetko aktivizmus nezastavilo vedec zaoberajúci sa matematickej analýzy. V roku 1802 bola odvodená rovnica, ktorá popisuje šírenie tepla v pevných látok. V roku 1807 vedci objavili spôsob riešenia tejto rovnice, ktorá sa stala známou ako "Fourierova transformácia".

analýza tepelná vodivosť

Výskumníci použili matematickú metódu popísať mechanizmus vedenie tepla. Výhodným príkladom, kde bez problémov výpočtu je šírenie tepelnej energie železným krúžkom, jeden diel ponorí do ohňa. Vykonávať experimenty Fourier rozžeravený časť kruhu a pochovať ho v jemnom piesku. Potom, meranie teploty vykonáva na protiľahlej časti. Spočiatku je rozvod tepla je nepravidelný: súčasťou kruhu - za studena, a druhý - za tepla, medzi zónami možno pozorovať prudký teplotný gradient. Avšak, počas rozloženie tepla cez kovový povrch sa stáva jednotnejšie. Takže, akonáhle sa tento proces má podobu sínusoidy. Prvý graf sa postupne zvyšuje, a tiež znižuje hladko, presne uvedené zákony variante kosínusu alebo funkcie sínus. Vlna sa postupne vyrovnáva a v dôsledku toho sa teplota zjednotí na celom povrchu prstenca.

Autorom tejto metódy predpokladá, že počiatočné rozdelenie je úplne nepravidelná možno rozdeliť do niekoľkých základných sine vĺn. Každý z nich bude mať svoju fáze (počiatočné poloha) a svoje maximálne teploty. Tak každá tieto zmeny komponentov od minima do maxima a späť na celú otáčku okolo časov kruh celé číslo. Zložka s periódou, ktorá sa označuje ako základné harmonické, a hodnota s dvomi alebo viacerými obdobie - druhý a tak ďalej. Napríklad, matematické funkcie, ktorá popisuje maximálnu teplotu, fázu alebo polohu nazýva Fourierova transformácia distribučnej funkcie. Scientist priniesol jedinú zložku, ktorá je ťažké matematického popisu nástrojov ľahko použiteľných - riadky sin a cos, vo výške dávať počiatočnej distribúciu.

podstatou analýzy

Pri použití tejto analýzy na konverziu rozloženie tepla na tuhý predmet, ktorý má prstencový tvar, matematik odôvodnené, že zvýšenie doby sínusových zložiek vedie k jeho rýchlemu tlmenie. To je jasne vidieť na prvej a druhej harmonické. Konečná teplota dvakrát tak maximálne a minimálne hodnoty v jednom priechodu, a v prvej - iba raz. Ukazuje sa, že vzdialenosť, ktorú prejde za tepla v druhej harmonickej je polovica, že jadra. Okrem toho bude tiež gradient druhej polovice strmší ako prvý. Vzhľadom k tomu, intenzívnejšie tepelný tok prechádza vdova minimálnu vzdialenosť, potom bude tlmená harmonické štyrikrát rýchlejšie ako hlavné, ako funkcia času. V nasledujúcom postupe bude ešte rýchlejší. Matematik za to, že tento spôsob umožňuje vypočítať proces počiatočné rozdelenie teploty v čase.

call súčasníci

Fourierova transformácia algoritmus sa stalo výzvou pre teoretické základy matematiky v tej dobe. Na začiatku devätnásteho storočia, väčšina prominentných vedcov, vrátane Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre a Biot neprijal jeho tvrdenie, že sa teplota počiatočné rozloženie je rozložený do priečinkov vo forme základnej vlny a vyššiu frekvenciu. Avšak, Akadémie vied nemohol ignorovať výsledky získané matematik, a udelil mu cenu za teóriu tepelnej vodivosti zákonov, ako aj vykonávanie jeho porovnaní s fyzikálne experimenty. V prístupe Fourierovy hlavnej námietka je skutočnosť, že nespojité funkcia je reprezentovaná súčtom niekoľkých sínusových funkcií, ktoré sú spojité. Koniec koncov, popisujú prasknutie rovných a zakrivených línií. Súčasná vedec takejto situácii nikdy dochádza pri nespojité funkcie opísané kombináciou kontinuálne, ako je kvadratická, lineárne, sínusové alebo vystavovateľa. V prípade, že matematik mal pravdu vo svojom tvrdení, súčet nekonečné rady trigonometrických funkcií by mala byť obmedzená na presné rýchlosti. Aj keď taká požiadavka sa zdalo absurdné. Avšak, aj napriek pochybnosti o niektorých výskumníkov (napr Claude Navier, Sofi Zhermen) rozšíril rozsah výskumu a vyviedol z analýzy rozloženia tepla. Matematiky, medzitým naďalej trpieť na otázku, či je suma niekoľkých sínusových funkciou je znížená na presné reprezentácie prasknutie.

200-ročnej histórii

Táto teória sa vyvinul v priebehu dvoch storočí, dnes je konečne vytvorená. S pomocou priestorových alebo časové funkcie sú rozdelené do sínusovej zložky, ktoré majú frekvencie, fázy a amplitúdy. Táto konverzia je dosiahnuté dvoma rôznymi matematickými metódami. Prvý z nich sa používa v prípade, že zdrojom je spojitá funkcia, a druhý - v prípade, že je reprezentovaný väčším počtom diskrétnych jednotlivých zmien. Pokiaľ je expresia získané z hodnôt, ktoré sú definované v diskrétnych časových intervaloch, môže byť rozdelená do niekoľkých diskrétnych sínusové frekvencií výrazy - od najnižšej a potom zdvojnásobil, strojnásobil, a tak ďalej nad základné. Táto suma sa nazýva Fourier série. Ak je počiatočná výraz nastaví hodnotu každej reálne číslo, môže byť rozdelená do viacerých sínusových všetkých možných frekvencií. To sa nazýva Fourier integrálnou a rozhodnutie znamená premenu integrálne funkcie. Bez ohľadu na metódu pre získanie transformácie, pre každú frekvenciu by mali uviesť dve čísla: amplitúdu a frekvenciu. Tieto hodnoty sú vyjadrené ako jeden komplexné číslo. Expresia komplexnej premennej teórie spolu s Fourierovou transformáciou na vykonávanie výpočtov umožnila konštrukciu rôznych elektrických obvodov, analýza mechanických vibrácií, štúdium šírenia vĺn mechanizmu a ďalšie.

Fourierova transformácia dnes

V súčasnej dobe je štúdium tohto procesu v podstate sa scvrkáva na hľadanie účinných metód pre prechod z funkcie previesť späť na myseľ. Toto riešenie sa nazýva priama a inverzná Fourierova transformácia. Čo to znamená? Za účelom zistenia, integrálne a urobiť priama Fourierova transformácia, môžete použiť matematické metódy, ale môžete analytický. Napriek tomu, že ak sú používané v praxi existujú určité problémy, väčšina integrály už boli nájdené a nadobudla matematických príručkách. S pomocou numerických metód možno vypočítať výrazov, ktorého tvar vychádza z experimentálnych dát, funkcia, ktorej integrály v tabuľkách chýba, a je ťažké si predstaviť, v analytickej podobe.

Pred príchodom počítačové inžinierskych výpočtov také transformácie boli veľmi únavné, ktoré vyžadujú manuálny prevedení veľkého počtu aritmetických operácií, ktoré sú závislé od počtu bodov, ktoré popisujú vlnovou funkciu. Aby sa uľahčilo zúčtovanie dnes existujú špeciálne programy, nemá zavádzanie nových analytických metód. Takže v roku 1965, Dzheyms Kuli a Dzhon Tyuki vytvorili softvér, ktorý sa stal známy ako "Fast Fourier Transform". To šetrí čas výpočtu znížením počtu násobenie v analýze krivky. "Fast Fourier Transform" Metóda je založená na rozdelenie krivky do veľkého počtu jednotných vzorkových hodnôt. V súlade s tým, je počet násobenie sa zmenší na polovicu za rovnaké zníženie počtu bodov.

Aplikovanie Fourierova transformácia

Tento postup sa používa v rôznych oblastiach: V teórii čísel, fyziky, spracovanie signálu, kombinatorika, teória pravdepodobnosti, kryptografia, štatistiky, oceánografie, optika, akustika, a iné geometrie. Bohaté možnosti jeho použitia sú založené na množstve užitočných funkcií, ktoré sa nazývajú "vlastnosti Fourierovej transformácie." Poďme preskúmať ich.

1. Funkcia prevodu je lineárny operátor a zodpovedajúci normalizácia je z jedného kusu. Táto vlastnosť je známa ako Parsevalova veta, alebo vo všeobecnom prípade, teorém Plansherelja alebo Pontrjagin dualizmus.

2. Prevod je reverzibilná. Okrem toho, opačný výsledok je v podstate podobný tvar ako v priamej adresovanie.

3. sínusové Základné výrazy sú ich vlastné diferencované funkcie. To znamená, že takéto zastúpenie sa mení lineárne rovnice s konštantnými koeficientmi v konvenčnom algebraické.

4. Podľa "konvolúcia" teorému, proces je komplexný operácie v základnej násobenie.

5. diskrétna Fourierova transformácia môže byť rýchlo navrhnutý na počítači pomocou "rýchlej" metódy.

Variácie Fourierova transformácia

1. Najčastejšie termín je používaný pre označenie kontinuálne premeny, ktoré poskytujú žiadny kvadraticky integrovateľnú výraz ako súčet komplexný exponenciálny expresie so špecifickými uhlovej frekvencie a amplitúdy. Tento druh má niekoľko rôznych foriem, ktoré môžu byť rôzne konštantnými koeficientmi. Kontinuálne spôsob zahŕňa konverzný tabuľku, ktoré možno nájsť v matematických príručkách. Zovšeobecnený prípad je frakčnou konverzie, čím môže byť tento proces zvýšená na požadovanú výkonom.

2. Kontinuálne spôsob je zovšeobecnením skoršie techniky Fourierov rad definovaný pre nejaké periodických funkcií alebo výrazov, ktoré existujú v obmedzenej oblasti a zastupujú ako séria sínusoíd.

3. Diskrétne Fourierova transformácia. Táto metóda sa používa pri výpočte pre vedecké výpočty a spracovanie digitálneho signálu. Na vykonanie tohto typu výpočtu je potrebné mať funkciu určenia na diskrétny súbor jednotlivých bodov, periodická alebo obmedzená oblasť miesto kontinuálne Fourierových integrálov. Prevod signálu je v tomto prípade znázornený ako súčet sínusoíd. Použitie "rýchle" metódy umožňuje používanie digitálnych riešení pre všetky praktické účely.

4. Okno Fourierova transformácia je zovšeobecnený pohľad na klasickou metódou. Na rozdiel od štandardných riešenie, ak je použitá spektra signálu, ktorá je prijatá v plnom rozsahu existenciu tejto premennej je zvláštnym záujmom je tu iba lokálne distribučné frekvencie pri zachovaní pôvodnej premennej (čas).

5. dvojrozmerná Fourierova transformácia. Táto metóda sa používa pre prácu s dvojrozmerné pole dát. V takom prípade sa konverzia uskutočňuje v jednom smere, a potom - v druhej.

záver

Dnes, Fourier metóda je pevne zakorenené v rôznych oblastiach vedy. Napríklad, v roku 1962, že otvorený tvar dvojreťazcovej DNA za použitia Fourierova analýza v spojení s röntgenovou difrakciou. Nedávne kryštály sa zameral na vláknach DNA, čo vedie k obrazu, ktorý sa získa pomocou difrakcie, zaznamenané na filme. Tento obrázok sa získa informácie o hodnote amplitúdy pomocou Fourierovej transformácie tohto kryštálovej štruktúry. Fázové dáta získané na základe porovnania DNA difrakčné karty s kartami, ktoré sú získané v analýze podobných chemických štruktúr. V dôsledku toho, biológovia obnovená kryštálovú štruktúru - pôvodnú funkciu.

Fourierova transformácia hrajú obrovskú úlohu pri štúdiu kozmického priestoru, fyziku polovodičových materiálov a plazmy, mikrovlnné akustiku, oceánografie, radar, seizmológia a lekárske prehliadky.