Cramerovo pravidlo a jeho aplikácie

Cramerovo pravidlo - je jedným z exaktných metód pre riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc (Slough). Jeho presnosť vďaka použitiu determinant systému matrice, ako aj niektoré obmedzenia uložených v dôkazu vety.

Systém lineárnych rovníc s koeficientmi patriť k, napríklad, množstvo R - reálne čísla neznámych x1, x2, ..., xn je súbor výrazov

AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain xn = bi s i = 1, 2, ..., m, (1)

kde AIJ, bi - reálne čísla. Každý z týchto výrazov sa nazýva lineárna rovnica, AIJ - koeficienty neznáme, bi - nezávislé koeficienty rovníc.

Roztok (1) podľa n-rozmerný vektor x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn ° C), pri ktorej substitúcia do systému pre neznámych X1, X2, ..., xn, každý z riadkov v systéme sa stáva najlepší rovnice ,

Tento systém sa nazýva konzistentné, ak má aspoň jedno riešenie, a nekonzistentné, ak sa zhoduje s množinou riešení prázdne množine.

Treba pripomenúť, že s cieľom nájsť riešenie sústav lineárnych rovníc použitím metódy Cramer, matricové systémy musia byť štvorcové, čo v podstate znamená, že rovnaký počet neznámych a rovníc v systéme.

Takže používať Cramerovo metódu, musíte aspoň vedieť , čo je Matrix je systém lineárnych rovníc, a to je vydaný. A za druhé, porozumieť tomu, čo sa nazýva determinant matice a vlastných schopností počítanie.

Dajme tomu, že tieto znalosti máte k dispozícii. Úžasné! Potom budete musieť len pamätať vzorce určujúca spôsob Kramer. Pre zjednodušenie memorovanie použiť nasledujúci zápis:

• Det - hlavné determinantom matrice systému;

• Deti - je determinant matice získané z primárnej matice sústavy nahradením i-ty stĺpec matice na stĺpcový vektor, ktorého prvky sú pravé strany lineárnych rovníc;

• n - počet neznámych a rovníc v systéme.

Potom Cramerovo pravidlo výpočet i-tej komponenty xi (i = 1, .. n) n-rozmerný vektor x možno zapísať ako

xi = deti / Det, (2).

V tomto prípade, Det striktne odlišné od nuly.

Unikátnosť riešenia systému, kedy je spoločne poskytuje stav nerovnosti hlavnú determinantu systému na nulu. V opačnom prípade, ak súčet (XI), štvorcový, striktne pozitívne, potom Slae štvorcová matica je nemožný. Táto situácia môže nastať najmä vtedy, keď aspoň jeden z Deti nenulové.

Príklad 1. Na vyriešenie trojrozmerné systém LAU pomocou Cramerovo vzorec.
2 x 1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x 1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Rozhodnutie. Zapíšeme maticu systému riadok po riadku, kde Ai - je i-tý riadok matice.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, 1, 1).
Stĺpec zadarmo koeficienty b = (31. októbra 29).

Hlavný systém je determinant Det
Det = A11 A22 A33 A12 A23 A31 + + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12-12 + 2 - 10 = -27.

Pre výpočet permutácie DET1 pomocou a11 = b1, b2 = A21, A31 = b3. potom
DET1 = b1 a22 A33 a12 a23 + b3 + a31 b2 A32 - a13 a22 b3 - b1 A32 a23 - A33 a12 b2 = ... = -81.

Podobne, pre výpočet det2 použitie substitúcia a12 = b1, A22 = b2, A32 = b3, a preto pre výpočet det3 - A13 = b1, A23 = b2, A33 = b3.
Potom si môžete overiť, že det2 = -108 a det3 = - 135.
Podľa vzorcov Cramer nájsť x1 = -81 / (- 27) = 3, X 2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Odpoveď: x ° = (3,4,5).

Spoliehanie sa na uplatňovania tohto pravidla, metóda Kramer riešenie sústav lineárnych rovníc možno použiť nepriamo, napríklad, vyšetrovať systém na možný počet riešení, v závislosti od hodnoty parametra k.

Príklad 2. stanoví, v aké hodnoty parametra k nerovnosti | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 má práve jedno riešenie.

Rozhodnutie.
Táto nerovnosť, podľa definície funkcie modulu môže byť vykonaná iba v prípade, oba výrazy sú nula súčasne. Preto tento problém sa redukuje na nájdenie riešenia lineárnych rovníc

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Riešením tohto systému iba v prípade, že je hlavnou determinantom
Det = k ^ {2} + 1 je nenulová. Je jasné, že táto podmienka je splnená pre všetky reálnej hodnoty parametra k.

Odpoveď: pre všetky reálnej hodnoty parametra k.

Cieľom tohto typu môžu byť tiež znížená rad praktických problémov v oblasti matematiky, fyziky a chémie.