Ako vypočítať plochu pyramídy: základné, bočné a úplné?

V rámci prípravy na skúšku z matematiky študenti musia systematizovať vedomosti algebry a geometrie. Chcel by som spojiť všetky známe informácie, napríklad ako vypočítať plochu pyramídy. Okrem toho, počnúc od dna a bočnými stenami, kým celý povrchu. V prípade, že bočné steny je situácia je jasné, ako sú trojuholníky, základňa je vždy iná.

Ako sa stať, keď je plocha základni pyramídy?

To môže byť docela akékoľvek číslo z ľubovoľného trojuholníka na N-gon. A tento základ, okrem rozdielu v počte uhlov, môže byť správny alebo nesprávny údaj. V záujme študentov úloh na skúšku našiel len zamestnanie so správnymi číslami v základni. Preto budeme hovoriť len o ne.

rovnostranný trojuholník

To je rovnostranný. One, že všetky strany sú si rovné a sú označené písmenom "A". V tomto prípade je základná plocha pyramídy sa vypočíta podľa vzorca:

S = ⁽² * √3) / 4.

námestie

Vzorec na výpočet jeho plocha je najjednoduchšie, je "" - strana je opäť:

A S = ^2.

Ľubovoľná pravidelný n-gon

Po stranách mnohouholníka s rovnakým označením. Informácie o počte uhlov používa latinské list n.

S = (n * ²⁾ / (4 * tg (180 ° / n)) .

Ako vstúpiť do výpočtu plochy bočné a celoplošne?

Vzhľadom k tomu je základný údaj je správny, potom všetky plochy pyramídy sú rovnaké. Z ktorých každý je rovnoramenný trojuholník, pretože bočné okraje sú rovnaké. Potom, na účely výpočtu oblasť strane pyramídy je potrebné vzorec skladajúci sa zo súčtu monomials identické. Počet podmienok je daná množstvom základných strán.

Oblasť rovnoramenného trojuholníka sa vypočíta podľa vzorca, v ktorom je polovica základného výrobku vynásobené výškou. Táto výška pyramídy zvané apothem. Jeho označenie - "A". Všeobecný vzorec pre oblasť bočné plochy, je nasledujúci:

S = ½ P * A, kde P - obvod základni pyramídy.

Sú prípady, keď nie je známe, že na strane dna, ale bočné hrany sú (a) ploché a uhol na špičke (a). Potom sa spolieha použiť nasledujúci vzorec pre výpočet bočné plochy pyramídy:

S = n / 2 až ² * sin α.

Úlohou № 1

Stav. Nájsť celkovú plochu pyramídy, ak je jeho základňa je rovnostranný trojuholník so stranou 4 cm a má hodnotu √3 apothem cm.

Rozhodnutie. To by sa malo začať s výpočtom obvodu základne. Pretože sa jedná o pravidelný trojuholník, potom P = 3 * 4 = 12 cm apothem Ako je známe, je možné okamžite vypočítať plochu celej plochy plášťa:. Pol * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Pre získanie základnej trojuholník je hodnota tejto oblasti (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Pre stanovenie celej plochy je treba zložiť obe výsledné hodnoty: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Odpoveď. 10√3 ^cm2.

Problem № 2

Stav. K dispozícii je pravidelné štvoruholníkové pyramída. Dĺžka základne je rovná 7 mm, na bočnej hrane - 16 mm. Musíte poznať jeho povrch.

Rozhodnutie. Vzhľadom k tomu, mnohostena - obdĺžnikového a správna, na svojej základni je štvorec. Sluchu základnú plochu a bočné strany môcť počítať štvorcové pyramídy. Vzorec pre námestí je uvedený vyššie. A viem, že všetky bočné plochy trojuholníka. Preto môžete použiť herónov vzorec na výpočet ich plochy.

Prvé výpočty sú jednoduché a vedú na toto číslo: 49 mm ^2. Pre výpočet druhej hodnoty nutné semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Teraz môžeme vypočítať plochu rovnoramenného trojuholníka: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54644 mm ^2. Existujú štyri trojuholníky, takže pri výpočte poslednej čísla budú musieť byť vynásobené 4.

Získa sa: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Odpoveď. 267,576 požadovanú hodnotu ² mm.

Úlohou № 3

Stav. V pravidelných štvorhranné pyramídy je nevyhnutná pre výpočet plochy. Je známe, strana námestie - 6 cm a výška - 4 cm.

Rozhodnutie. Najjednoduchší spôsob, ako použiť vzorec s produktom z obvodu a apothem. Prvá hodnota je nájdený jednoducho. Druhý o niečo ťažšie.

Budeme musieť pamätať Pytagorovej vety a zvážiť pravouhlý trojuholník. Je tvorený výškou pyramídy a apothem, čo je prepona. Druhá noha je polovičná stranu námestia, ako výška Polyhedron spadá do jeho stredu.

Obľúbené apothem (prepona pravouhlého trojuholníka) je rovná √ (3 + ² 4 ²⁾ = 5 (cm).

Teraz je možné pre výpočet požadovanej hodnoty: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 ^(cm2).

Odpoveď. 96 cm ^2.

Problem № 4

Stav. Dana pravidelné hexagonálne pyramídy. Boky základni rovnajúcej sa 22 mm, bočné okraje - 61 mm. Čo je oblasť bočné plochy tohto mnohostena?

Rozhodnutie. Úvaha v ňom sú rovnaké, ako je popísané v №2 úloh. Iba tam dostal pyramída na námestí na základni, a teraz je šesťuholník.

V prvom kroku sa vypočíta základné plochy uvedeného všeobecného vzorca ^{(6 * 22 2) / (} 4 * tg (180 ° / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Teraz je potreba nájsť pol obvodu rovnoramenného trojuholníka, ktorý je stranou. (22 + 61 * 2):. = 72 cm2 zostáva na vzorci Heron pre výpočet plochy každého trojuholníka, a potom násobiť ho šesť krát a ten, ktorý sa ukázal základni.

Výpočty Heron vzorca: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 cm ^2. Výpočty, ktoré budú poskytovať bočné povrch: 660 * 6 = 3960 cm ^2. Zostáva im pridať až zistiť, či je celý povrch: 5217,47≈5217 ^cm2.

Odpoveď. Dôvody - 726√3 cm ^2, je bočná plocha - 3960 cm ^2, celá oblasť - 5217 cm ^2.