Rovnica - čo to je? Definície, príklady

V priebehu školskej matematiky, dieťa najprv počuje termín "rovnice". Čo sa deje, snažia sa porozumieť sebe. V tomto článku sa budeme zaoberať druhy a spôsoby riešenia.

Matematika. rovnice

Ktorá začala ponúkať zaoberať samého potuchy o tom, čo to je? Ako je uvedené v mnohých učebníc matematiky, rovnica - je to niektoré výrazy, medzi ktorými by ste mali určite známkou rovnosti. V týchto výrazoch, tam sú písmená, takzvané variabilné, ktorých hodnota je a musí byť nájdené.

Čo je to premenná? Tento atribút systém, ktorý mení svoju hodnotu. Dobrým príkladom premenné sú nasledovné:

• teplota vzduchu;
• Rast dieťaťa;
• hmotnosti a tak ďalej.

V matematike, ktoré sú označené písmenami, ako X, A, B, C ... Obvykle je úloha matematiky je nasledujúci: nájsť hodnotu rovnice. To znamená, že budete musieť nájsť hodnotu týchto premenných.

druh

Rovnica (To znamená, že je uvedené v predchádzajúcom odseku), môže byť v tvare:

• lineárne;
• štvorec;
• kubický;
• algebraické;
• transcendentálnej.

Ak sa chcete dozvedieť viac informácií o všetkých typoch, zvážiť každý zvlášť.

lineárna rovnica

Jedná sa o prvý typ, ktoré zoznamujú školákov. Sú vyriešené pomerne rýchlo a ľahko. To znamená, že lineárna rovnica, čo je to? Tento výraz v tvare: s = c. Takže nie je príliš jasné, takže sme dať niekoľko príkladov: 2 = 26; 5x = 40; 1.2 x = 6.

Uvažujme príklady rovníc. K tomu je nutné zhromaždiť všetky známe údaje na jednej strane, a neznáme na druhú: x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1,2. Tam boli použité elementárne pravidlá matematiky: a * c = E, to c = e / a; a = e / s. Za účelom dokončenia riešenie rovnice, vykonávame jednu akciu (v tomto prípade, rozdelenia) x = 13; x = 8; x = 5. Jednalo sa o príklady v násobenie teraz zobraziteľné na odčítanie a sčítanie: x + 3 = 9; 5-10x = 15. Známe sú dáta prenášané v jednom smere: x = 9-3; x = 20/10. Vykonávame poslednej akcii: x = 6; x = 2.

Tiež varianty sú možné lineárnych rovníc, kde viac ako jedna premenná: 2x-2y = 4. S cieľom vyriešiť, je nutné pridať každý diel 2Y, dostaneme 2x-2y + 2y = 4-2u, ako sme videli, na ľavej strane znamienko rovná a -2u + 2y znížená, tak nám ostáva: 2x = 4 -2u. Posledným krokom predel každá časť z nich, dostaneme odpoveď: X je dve mínus y.

Problémy s rovniciach sa vyskytujú aj v Rhind matematický papyrus. To je jeden z problémov: počet a štvrtá časť dáva celkom 15. Na vyriešenie tohto problému sme písať nasledujúce rovnice: X plus jedna štvrtina X je pätnásť. Vidíme ďalší príklad lineárna rovnica pre celkové riešenie, dostaneme odpoveď: x = 12. Ale tento problém sa dá vyriešiť iným spôsobom, a síce, egyptský, alebo ako sa tomu hovorí inak, spôsob špekulácie. V papyrusu použité nasledujúce riešenia: vziať štyri a štvrť to, že je jeden. Stručne povedané, dávajú päť, pätnásť teraz sa vydelí súčtom, dostaneme tri, posledné akcie tri štvornásobne. Dostaneme odpoveď: 12. Prečo sme v rokovaní s pätnástimi deleno piatimi? Tak sme zistili, koľkokrát pätnásť, to znamená, že výsledok z ktorých musíme získať aspoň päť. Týmto spôsobom sme vyriešili problémy v stredoveku, to stalo sa nazýva metóda falošného postavenia.

kvadratickej rovnice

Okrem skôr opísaných príkladoch, sú aj ďalšie. Ktoré? Kvadratická rovnica, čo je to? Majú formu AX ² + bx + c = 0. K ich riešenie, je potrebné, aby ste sa zoznámili s niektorými pojmami a pravidlami.

Najprv je nutné nájsť diskriminačné vzorca: b ² -4ac. Existujú tri spôsoby, ako vyriešiť výsledok:

• diskriminačné je väčšia ako nula;
• menšia ako nula;
• je nulová.

V prvej verzii môžeme získať odpoveď z dvoch koreňov, ktoré sú podľa všeobecného vzorca -B + koreňu discriminant delená dvojnásobok prvý koeficient, tj 2a.

V druhom prípade, korene tam rovnice. Tretí prípad je koreň vzorca: -b / 2a.

Zoberme si za príklad kvadratickej rovnice k bližšiemu zoznámenia: tri X druhú mínus štrnásť X mínus päť rovná nule. Po prvé, ako je napísané vyššie, pri pohľade diskriminačné, v našom prípade je rovná 256. Všimnite si, že výsledné číslo je väčšie ako nula, a preto by sme sa mali dostať odpoveď, skladajúci sa z dvoch koreňov. Náhradné získané v diskriminačné vzorca pre nájdenie koreňov. V dôsledku toho máme: X sa rovná piatich a mínus jednu tretinu.

Osobitné prípady kvadratických rovníc

To sú príklady, v ktorých niektoré z hodnoty sú nulové (a, b alebo c), a prípadne ďalšie.

Uvažujme napríklad nasledujúce rovnice, ktorá je štvorec, dve X na druhú sa rovná nule, tu je vidieť, že b a c sú rovné nule. Skúsme vyriešiť to, pre ktoré obe strany delia dva, máme: x ² = 0. Ako výsledok, dostaneme x = 0.

Ďalším prípadom je 16x ² = 0 -9. Tu iba b = 0. Riešime rovnice, koeficient voľný prevod na pravej strane: 16 x ² = 9, teraz každá časť sa delí šestnásť x ² = deväť šestnástinu. Vzhľadom k tomu, máme x druhú, druhá odmocnina 9/16 môže byť buď negatívne alebo pozitívne. Odpoveď je napísané takto: X sa rovná plus / mínus tri štvrtiny.

Je to možné a táto odpoveď, rovnako ako korene rovnice nemá. Pozrime sa na nasledujúci príklad: 5 x ² + 80 = 0, B = 0. Aby sa vyriešili konštantný termín šíri na pravej strane, po týchto krokoch, dostaneme: 5x ² = -80, a teraz každá časť je rozdelená piatimi: x ² = mínus šestnásť. Ak existuje rad štvorcový, záporná hodnota dostaneme. Na tejto Naša odpoveď znie: u koreňov rovnice tam.

rozklad trinomial

podľa kvadratickej rovnice úloha môže znieť inak: k rozkladu kvadratickej trinomial do faktory. To možno vykonať pomocou nasledujúceho vzorca: a (X-X ₁₎ (x-x _2). Pre tento účel, rovnako ako v iných referenčnom prevedení, je potrebné nájsť diskriminačné.

Zoberme si nasledujúci príklad: 3x ² -14h-5, sa rozkladajú na mnozheteli trinomial. Nájsť Diskriminačné pomocou už známy vzorec, je zistené, že je 256. Teraz na vedomie, že 256 je väčšia ako nula, a preto rovnica bude mať dva korene. Nájsť, rovnako ako v predchádzajúcom odseku, máme: x = mínus päť až jedna tretina. Použite vzorec pre trinomial rozkladu na mnozheteli 3 (X-5), (x + 1/3). V druhom držiaku máme znamienko rovnosti, pretože vzorec stojí mínus, a koreň, aj negatívne, s použitím základné znalosti matematiky, vo výške máme znamienko plus. Pre jednoduchosť vynásobíme prvý a tretí člen rovnice, ako sa zbaviť frakcie: (x-5), (x + 1).

Rovnica reducibilní na námestí

V tejto sekcii sa naučíme, ako riešiť zložitejšie rovnice. Začneme hneď na príklade:

(X ² - 2x) ^2-2 (x ² - 2x) - 3 = 0. Môžeme si všimnúť opakujúce položky: (x ² - 2x) a pohodlné pre nás riešenie ho nahradiť iné premenné, a potom sa rieši obyčajnou kvadratickú rovnicu, okamžite Všimnite si, že v tejto úlohe dostaneme štyri korene, nemalo by vás vystrašiť. opakovanie variabilné a znamenajú. Dostaneme ² 2A-3 = 0. Naším ďalším krokom - je nájsť nový diskriminačné rovnicu. Dostávame 16, nájdeme dva korene: mínus jedna a tri. Pamätáme si, že sme urobili náhrada, náhrada týchto hodnôt, ako výsledok, máme rovnica: x ² - 2x = 1; x ² - 2x = 3. Riešenie je v prvej fáze reakcie: x je jedna, druhý: x je mínus jedna a tri. Napísať odpoveď takto: plus / mínus jedna a tri. Zvyčajne, odpoveď je písaná vo vzostupnom poradí.

kubický

Uvažujme inú možnosť. Je to o kubické rovnice. Majú formu: ax ³ + bx ² + cx + d = 0. Príklady rovníc považujeme za ďalší, a začať s trochou teórie. Môžu mať tri korene, ako je vzorec pre nájdenie discriminant kubické rovnice.

Zoberme si tento príklad: 3 + ³ 4 ² + 2 = 0. Ako to vyriešiť? K tomu, len sa z konzol x: x (3 + ² 4 + 2) = 0. Všetko, čo musíte urobiť - je vypočítať korene rovnice v zátvorkách. Discriminant kvadratickej rovnice v zátvorke, je menšia ako nula, na základ tohto výrazu je koreň x = 0.

Algebra. rovnice

Prejdite k ďalšiemu dohľadu. Teraz stručne zvažovať algebraické rovnice. Jednou z úloh je nasledujúci: spôsob zoskupenia rozprestrie na mnozheteli 3 ⁴ 2 + ³ + 8 x ² + 2 + 5. Najvhodnejším spôsobom je nasledujúci skupiny: (3 + ⁴ 3 ²⁾ + (2 x ³ + 2) + (5 x ² 5). Všimnite si, že 8 × ² z prvej výraz sme predstavili ako súčet 3 a ² 5x ^2. Teraz sme sa z každého z držiakov 3 spoločný faktor ² (x2 + 1) 2 + (x ² + 1), 5 ⁽² x 1). Vidíme, že máme spoločný faktor: X štvorcový plus jeden, aby ju z konzol: (1 x ^2), (3 ² + 2 + 5). Ďalšie rozklad nie je možné, pretože obe rovnice majú negatívny diskriminačné.

transcendentný rovnice

Ponúkajú sa vysporiadať s ďalším typom. Táto rovnica, ktoré obsahujú transcendentný funkcie, a to, logaritmické, goniometrické alebo exponenciálny. Príklady: 6sin ² x + TGX-1 = 0, x + 5lgx = 3, a tak ďalej. Ako sú riešené, sa dozviete z trigonometrie.

funkcie

Záverečná fáza konceptu, zvážte funkciu rovnice. Na rozdiel od predchádzajúcich verzií, tento typ nemožno vyriešiť, a graf je založený na tom. Z tohto vzťahu je dobre stojí za to analyzovať, nájsť všetky potrebné body pre budovy vypočítať maximálnu a minimálnu bodov.