Súčet uhlov trojuholníka. Veta o súčet uhlov trojuholníka

Trojuholník je polygón má tri strany (tri uhly). Najčastejšie je časť označená malými písmenami zodpovedajúcimi veľkými písmenami, ktoré predstavujú protiľahlé vrcholy. V tomto článku sa pozrieme na tieto typy geometrických tvarov, veta, ktorá definuje, čo je rovný súčtu uhlov trojuholníka.

Druhy najväčšie uhly

Nasledujúce typy polygónu s tromi vrcholmi:

• ostrouhlý, v ktorej sú všetky uhly sú ostré;
• obdĺžnikový a má jeden pravý uhol, bočné z ktorého sa vytvorí, uvedenej nohy, a na strane, ktorá je umiestnená naproti pravého uhla, sa nazýva prepona;
• tupý, keď jeden uhol je tupý ;
• rovnoramenný, ktorých dve strany sú rovné, a nazývajú sa bočné a tretí - trojuholník s bázou;
• rovnostranný má tri rovnaké strany.

vlastnosti

Prideliť základné vlastnosti, ktoré sú charakteristické pre každý typ trojuholníka:

• naproti najväčšia strana je vždy väčší uhol, a naopak;
• sú rovnaké uhly naproti rovnom najväčšej strany, a naopak;
• v každom trojuholníku má dva ostré uhly;
• vonkajšie uhol väčší, než akékoľvek vnútorný uhol k nej nesusedia;
• súčet ľubovoľných dvoch uhlov je vždy menší ako 180 °;
• Vonkajší uhol je rovný súčtu ďalších dvoch rohov, ktoré nie sú mezhuyut s ním.

Veta o súčet uhlov trojuholníka

Veta hovorí, že ak spočítate všetky rohy geometrický tvar, ktorý je umiestnený v euklidovskej rovine, potom ich súčet bude o 180 stupňov. Skúsme dokázať túto vetu.

Nech máme ľubovoľný trojuholník s vertices KMN. V hornej časti M bude mať priamy rovnobežná s osou KN (aj táto čiara sa nazýva Euclid). Je potrebné poznamenať, bod A tak, že body K a A sú usporiadané z rôznych stranách linky MN. Dostaneme rovnaký uhol AMS a MUF, ktoré, rovnako ako vo vnútri, leží priečne k vytvoreniu pretínajúca MN v spojení s priamym CN a MA, ktoré sú rovnobežné. Z toho vyplýva, že súčet uhlov trojuholníka, ktorý sa nachádza na vrcholoch M a N sa rovná veľkosti uhla CMA. Všetky tri uhly sa skladajú zo sumy rovnajúcej sa súčtu uhlov MAK a MCS. Vzhľadom k tomu, že údaje sú vnútorné uhly relatívnej obojstranné paralelné línie CL a CM MA v pretínajúcich, ich súčet je 180 stupňov. To dokazuje vetu.

výsledok

Z vyššie uvedených vyššie vety vyplýva nasledovné dôsledok: každý trojuholník má dve ostré uhly. Na preukázanie toho, predpokladajme, že tento geometrický obrazec má iba jeden ostrý uhol. Môžete tiež predpokladať, že žiadny z rohov nie sú ostré. V tomto prípade musí byť aspoň dva uhly, ktorého veľkosť je rovná alebo väčšia ako 90 stupňov. Ale potom je súčet uhlov je väčší ako 180 stupňov. To však nie je možné, pretože podľa vety súčet uhlov trojuholníka sa rovná 180 ° - nie viac, nie menej. To je to, čo muselo byť preukázané.

Charakter vonkajšie rohy

Aký je súčet uhlov trojuholníka, ktoré sú externé? Odpoveď na túto otázku je možné získať za použitia jedného z dvoch spôsobov. Prvý z nich je, že musíte nájsť súčet uhlov, ktoré sú prevzaté jeden na každom vrchole, to jest troch uhlov. Druhý znamená, že budete musieť nájsť súčet šiestich uhlov vo vrcholoch. K riešeniu sa začiatkom prvého prevedenia. To znamená, že trojuholník obsahuje šesť vonkajších rohov - v hornej časti každej z oboch. Každá dvojica má rovnaké uhly medzi sebou, pretože sú vertikálne:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Okrem toho je známe, že vonkajší roh trojuholníka sa rovná súčtu dvoch interiéru, ktoré nie sú mezhuyutsya s ním. preto,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Z toho je zrejmé, že súčet vonkajších uhlov, ktoré sú prijímané po jednom u každého vrchole bude rovnať:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Vzhľadom k tomu, že súčet uhlov je 180 stupňov, možno tvrdiť, že ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. To znamená, že ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Ak sa použije druhá možnosť, bude súčet uhlov šiestich byť zodpovedajúcim spôsobom vyššia dvakrát. Teda súčet uhlov trojuholníka vonku bude:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

pravouhlý trojuholník

Čo je rovný súčtu uhlov pravouhlého trojuholníka, je ostrov? Odpoveď je opäť z vety, v ktorom sa uvádza, že uhly trojuholníka sa sčítajú do 180 stupňov. Zvuk naše tvrdenia (majetok) takto: v pravouhlého trojuholníka s ostrými uhlami pridať až 90 stupňov. Dokážeme jej pravdivosť. Budiž daná trojuholník KMN, ktoré ∟N = 90 °. Je potrebné preukázať, že ∟K ∟M = + 90 °.

Tak, podľa vety o súčtu uhlov ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. V tomto stave sa hovorí, že ∟N = 90 °. Ukazuje sa, ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. To je ∟K ∟M + = 180 ° C - 90 ° = 90 °. To je to, čo by sme mali dokázať.

Okrem uvedených vlastností pravouhlého trojuholníka, môžete pridať tieto:

• Uhly, ktoré ležia proti nohám sú ostré;
• prepona trojuholníkových väčší ako ktorákoľvek z nôh;
• súčet nohy viac ako prepona;
• rameno trojuholníka, ktorý leží oproti uhle 30 stupňov, polovica prepony, ktorá sa rovná približne na polovicu.

Ako ďalšie vlastnosť geometrického tvaru, môžu byť rozlíšené Pytagorovej vety. Tvrdí, že v trojuholníku s uhlom 90 stupňov (obdĺžnikové), súčet štvorcov nohy rovná štvorec prepony.

Súčet uhlov rovnoramenného trojuholníka

Predtým sme uviedli, že rovnoramenný trojuholník je mnohouholník s tromi vrcholmi, obsahujúci dva rovnaké strany. Táto vlastnosť je známy geometrický obrazec: uhly na svojej základni rovnaké. Poďme dokázať.

Vezmite trojuholník KMN, čo je rovnoramenný, SC - svoju základňu. Sme povinní preukázať, že ∟K = ∟N. Takže predpokladajme, že MA - KMN je priamka nášho trojuholníka. ICA trojuholník s prvým náznaku rovnosti je trojuholník MNA. Konkrétne, podľa predpokladu, že vzhľadom na to, CM = NM, MA je spoločná strana, ∟1 = ∟2, pretože MA - to priamka. Použitie rovnosť dvoch trojuholníkov, je možné tvrdiť, že ∟K = ∟N. Preto je veta je preukázané.

Ale nás zaujíma, aký je súčet uhlov trojuholníka (rovnoramenného). Pretože v tomto ohľade nemá na jeho vlastnosti, začneme od vety diskutované skôr. To znamená, že môžeme povedať, že ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, alebo 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (ako ∟K = ∟N). To nebude dokázať vlastnosť, pretože veta o súčte uhlov trojuholníka bola preukázaná skôr.

Okrem uvažovaných vlastností rohoch trojuholníka, existujú aj také dôležité vyhlásenie:

• v rovnostrannom výšky trojuholníka, ktorá bola znížená na základni, je zároveň strednou sečné uhla, ktorý je medzi tými istými stranami a osou súmernosti jeho základne;
• medián (priamka, nadmorská výška), ktoré sú držané na stranách geometrického útvaru, sú rovnaké.

rovnostranný trojuholník

To je tiež nazývaný v poriadku, je trojuholník, ktoré sú rovnaké pre všetkých účastníkov. A tým aj rovné a uhly. Každý z nich je 60 stupňov. Poďme ukázať túto vlastnosť.

Predpokladajme, že máme trojuholník KMN. Vieme, že KM = HM = KH. To znamená, že, v závislosti na vlastnosti uhlov umiestnených na základni v rovnostrannom trojuholníku ∟K = ∟M = ∟N. Vzhľadom k tomu, podľa súčtu uhlov trojuholníka vety ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, potom x 3 = 180 ° ∟K alebo ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. To znamená, že tvrdenie je dokázané. Ako je zrejmé z vyššie uvedených poznatkov, vztiahnuté na vyššie uvedené vety je súčet uhlov rovnostranného trojuholníka, ako súčet uhlov iného trojuholníka je 180 stupňov. Opäť preukázanie tejto vety nie je nutné.

Tam sú ešte niektoré vlastnosti charakteristické pre rovnostranného trojuholníka:

• stredná výška priamka v geometrickým obrazcom identické, a ich dĺžka je vypočítaná ako (A x √3): 2;
• Pokiaľ tento mnohouholník opisujúce kruh, potom je polomer sa rovná (A x √3): 3;
• ak vpísaný do kružnice rovnostranného trojuholníka, jej polomer by byť (a x √3): 6;
• plocha geometrického útvaru sa vypočíta podľa vzorca: (a2 x √3): 4.

tupý trojuholník

Podľa definície, tupý pravouhlý trojuholník, jeden z jeho rohov je medzi 90 až 180 stupňov. Ale vzhľadom k tomu, že ďalšie dva uhly geometrického tvaru ostrý, to môže urobiť záver, že ak neprekročí 90 stupňov. Preto je súčet uhlov trojuholníka vety pracuje pri výpočte súčet uhlov v tupom trojuholníka. Takže môžeme s istotou povedať, na základe uvedenej vety, že súčet tupých uhlov trojuholníka je 180 stupňov. Opäť platí, že táto veta nepotrebuje re-dôkaz.