Aký je aritmetický? Základná veta aritmetiky. binárne aritmetické

Aký je aritmetický? Keď sa začalo ľudstvo používať čísla a pracovať s nimi? Tam, kde sú jeho korene každodenné pojmy, ako sú čísla, zlomky, odčítanie, sčítanie a násobenie, táto osoba urobila neoddeliteľnú súčasť svojho života a výhľadu? Grécke myslenie obdivoval také vedy ako matematiky, aritmetiky a geometrie, ako krásna symfónia ľudskej logiky.

Možno, že matematika nie je tak hlboká ako iné vedy, ale to, čo sa s nimi stane, ľudia zabúdajú na základné násobilku? Poznáme logické myslenie, pomocou čísla, zlomky a ďalšie nástroje, ktoré dávajú ľuďom zabrať a po dlhú dobu nebolo našim predkom k dispozícii. V skutočnosti, pred vývojom aritmetiky nebol skutočne vedecký žiadna oblasť ľudského poznania.

Aritmetika - Matematika je abeceda

Aritmetika - veda o číslach, s akou každý jednotlivec začne zoznámenie s fascinujúcim svete matematiky. Podľa slov M. V. Lomonosov, aritmetika - to je brána učenia, ktorá otvorila cestu pre nás Miropoznanie. Ale je to v poriadku, je znalosť sveta môže byť oddelená od znalosti písmen a číslic, matematiky a reči? Možno, že v dávnych dobách, ale nie v modernom svete, kde je rýchly rozvoj vedy a techniky robí svoje vlastné zákony.

Slovo "aritmetika" (Gk. "Arifmos") gréckeho pôvodu, znamená "číslo". Skúma počet a všetko, čo možno s nimi spojené. To je svet čísel: rôzne operácie na čísla, numerické pravidiel, úloh, ktoré sú spojené s násobenie, odčítanie, a tak ďalej ..

Všeobecne sa uznáva, že prvým krokom je aritmetický matematiky a pevný základ pre zložitejšie jeho častí, ako sú napríklad algebry, matematickej analýzy, vyššej matematiky a t. D.

Hlavným predmetom aritmetiky

Základom aritmetiky - je celé číslo, vlastnosti a zákony, ktoré sú považované za najvyššiu aritmetický alebo teórie čísel. V skutočnosti, ako je správny prístup vzatý do úvahy také malé jednotky, ako prirodzené číslo závislé na sile budovy - matematiky.

Preto je otázka, ktorá je aritmetika, odpoveď je jednoduchá: je to veda o číslach. Áno, o obvyklý sedem, deväť, a všetky tieto rôznorodé spoločenstvo. A rovnako dobre, a najviac priemerní verše nemožno zapísať bez základnej abecedy, bez aritmetický nemožno riešiť aj základné úlohy. To je dôvod, prečo sú všetky vedy majú pokročilé až po vývoj aritmetiky a matematiky, je v prvom rade set predpokladov.

Aritmetika - sci-ghost

Aký je aritmetický - prírodné vedy alebo fantóm? V skutočnosti, ako starí grécki filozofi odôvodnené, žiadne čísla, neexistuje v skutočnosti žiadne čísla. Je to len fantóm, ktorý je vytvorený v ľudskom myslení pri pohľade na životné prostredie a jeho procesov. V skutočnosti to, čo je to číslo? Nikde nevidíme nič také by sa dalo nazvať číslo skôr číslo - to je spôsob, ako preskúmať svet ľudskej mysle. Možno, že táto štúdia máme v sebe? Filozofi argumentujú, o tom už po mnoho storočí v rade, takže dať vyčerpávajúcu odpoveď, nebudeme vykonávať. Či tak alebo onak, je aritmetický by tak pevne, aby ich postavenie v modernom svete nikto nemôže byť považovaná za spoločensky prispôsobený bez vedomia jej základov.

Ako bolo celé kladné číslo

Samozrejme, že hlavným cieľom, ktorý pracuje aritmetické, - prirodzené číslo, ako je 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... atď. Aritmetický prirodzených čísel je výsledkom úkor bežných predmetov, ako sú napríklad kravy na lúke. Napriek tomu, že definícia "veľa" alebo "malý", keď sa niečo prestala držať ľudí a musel vymyslieť sofistikovanejšie počítanie techniku.

Ale skutočný prielom prišiel, keď je ľudská myseľ dosiahol bod, ktorý môže byť jeden a rovnaký počet "dve", aby určil a 2 kg a 2 tehly a 2 diely. Skutočnosť, že je nutné, aby výpis z formulárov, vlastnostiach a významu objektov, potom môžeme vyrobiť nejakú akciu s týmito objektmi v podobe kladných čísel. Tak sa zrodila aritmetika čísel, ktorá sa ďalej rozvíjať a rozširovať v obsadení pozície v spoločnosti.

Taký do hĺbky predstavu o čísle, as nulou a záporné čísla, zlomky, čísla sa vzťahujú k číslam inými spôsobmi, majú bohatú a zaujímavú históriu vývoja.

Aritmetické a praktické Egypťania

Dva starovekú ľudskou spoločník v štúdiu na celom svete a riešení každodenných problémov - to aritmetika a geometrie.

Predpokladá sa, že história aritmetika má svoj pôvod v starovekom Východe: India, Egypt, Babylon a Číne. Takže Rhind papyrus Egyptský pôvod (tak pomenovaný pretože rovnaký názov patriace majiteľovi), siahajúce až do storočia XX. BC, okrem ďalších dôležitých dát zahŕňa expanziu frakcie v množstve frakcií s rôznymi menovateli a čitateli rovná jednej.

Napríklad: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Ale to, čo je zmyslom takéhoto komplexného rozkladu? Skutočnosť, že egyptský prístup netoleruje zamyslený premýšľať o číslach, naopak, výpočty sa uskutočnili len pre praktické účely. To znamená, že budú Egypťania byť zapojený do tejto činnosti ako výpočty, a to výhradne za účelom vybudovania hrobky, napr. Bolo nutné vypočítať dĺžku rebrovou konštrukciu, a to robilo, aby človek sedieť papyrus. Ako možno vidieť, egyptskej pokrok vo výpočtoch bolo volané, skôr masívne stavebné, skôr než z lásky k vede.

Z tohto dôvodu, výpočty nájdené na papyruse, nemožno nazvať úvahy na tému frakcií. S najväčšou pravdepodobnosťou sa jedná o praktickú prípravu, čo napomohlo k ďalšiemu riešeniu problémov s frakciou. Starí Egypťania nevedeli násobilku, produkoval pomerne zdĺhavé výpočty, sa rozprestieral do mnohých čiastkových úloh. Možno je to jeden z tých čiastkových úloh. Je ľahké si všimnúť, že výpočty s týmito polotovarov je veľmi časovo náročné a nie príliš sľubné. Snáď z tohto dôvodu nevidíme veľký prínos k rozvoju staroegyptských matematiky.

Staroveké Grécko a filozofický aritmetika

Mnoho znalosti starovekého Východu boli úspešne zvládol už starí Gréci, je známe, že fanúšikov abstraktné, abstraktné a filozofické reflexie. Cvičiť v nich záujem o nič menšieho, ale najlepší teoretici a myslitelia sa ťažko hľadajú. Bolo to dobré pre vedu, pretože matematika nie je možné ísť hlboko, nie roztrhnutiu s realitou. Samozrejme, že je možné násobiť 10 kráv a 100 litrov mlieka, ale nemusí byť schopný sa pohybovať ďaleko.

Gréci myslenie hlboko zanechal významnú stopu v histórii a ich diela prišli k nám:

• Euclid a "Elements".
• Pytagoras.
• Archimedes.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

A samozrejme, otočí všetku filozofiu Grékov, a najmä stúpenci prípadov Pytagorova veta bola tak vášnivá o čísla, ktoré im záhadou svet harmónie do úvahy. Čísla sú tak študoval a vyšetroval, že niektoré z nich a ich pary pripísať zvláštne vlastnosti. napríklad:

• Dokonalá čísla - tie, ktoré sú súčet všetkých svojich deliteľa okrem číslom sám (6 = 1 + 2 + 3).
• Priateľské čísla - tieto čísla, z ktorých jeden je súčet všetkých deliteľov druhého a naopak (Pytagorova poznať iba jednu takú dvojicu: 220 a 284).

Gréci, ktorí verili, že veda by mala byť milovaný, a nie, aby sa s ňou kvôli zisku, urobili veľký pokrok, objavovanie, hranie a pridávanie čísel. Je potrebné poznamenať, že nie všetky ich výskumu boli široko používané, niektoré z nich boli iba "pre krásu."

Východný myslitelia stredoveku

Podobne, v stredoveku aritmetický vďačí za svoj rozvoj na východných súčasníkov. Indiáni nám údaje, ktoré sme aktívne používajú niečo ako "nula", a poloha variácie kalkulačné systém, obvyklý moderného vnímania. Al-kaša, ktorá v 15. storočí pôsobil v Samarkande, sme zdedili desatinné miesta, bez ktorých je ťažké si predstaviť moderné aritmetiku.

V mnohých ohľadoch, Európa zoznámil s úspechmi na východe bola umožnená vďaka práci talianskeho vedca Leonardo Fibonacci, ktorý napísal knihu "Liber Abaci", zoznámenie s orientálnymi inováciami. To sa stalo základným kameňom rozvoja algebry a aritmetiky, výskumu a vedeckej činnosti v Európe.

Ruský aritmetika

A konečne, aritmetika, si našla svoje miesto a svoje korene v Európe, začal šíriť na ruskej pôde. Ruská prvý aritmetický uverejnená v roku 1703 - bola to kniha o aritmetický Leontiya Magnitskogo. Na dlhú dobu to bol jediný výukový program v matematike. Obsahuje počiatočné okamihy algebry a geometrie. Údaje, ktoré boli použité v príkladoch ruského prvého učebnice aritmetiky, arabčina. Hoci Arabské číslice sa stretli predtým, rytín siahajúcu až do 17. storočia.

Kniha samotná je zdobený obrazmi Archimedes a Pythagoras, a na prvej strane - obraz aritmetiky ako žena. Ona sedí na tróne, pod ním je písaný v hebrejské slovo pre mene Boha, a na schodoch, ktoré vedú k oltáru, vpísaných so slovom "divízie", "zvýšenie", "sčítanie", a tak ďalej. D. Možno si len predstaviť, akú hodnotu zradila tieto pravdy, ktoré sú teraz považované za samozrejmosť.

Učebnica 600 stranách opisuje ako základ, ako je sčítanie a násobenie stoly, a žiadosti o navigačné vied.

Niet divu, že autor zvolil obraz gréckych mysliteľov pre jeho knihu, pretože on sám bol očarený krásou aritmetiky, riekol: "Aritmetika je chislitelnitsa tam si fér, nezavistnoe ...". Tento prístup k aritmetike je opodstatnený, pretože to je jeho široké prijatie môže byť považovaný za začiatok rýchly rozvoj vedeckého myslenia v Rusku a všeobecného vzdelávania.

nepokojné prvočísla

Prvočíslo - to je prirodzené číslo, ktoré sa nachádza len 2 kladné delitele: 1 a sám. Všetky ostatné čísla, s výnimkou 1, sa nazýva zložený. Príklady prvočísel: 2, 3, 5, 7, 11, a všetky ostatné, ktoré nie sú iné ako 1. deliteľa a samotné číslo.

Pokiaľ ide o číslo 1, je na prvom mieste - existuje zhoda, že by mal byť považovaný ani jednoduchá, ani zlúčeniny. Na prvý pohľad jednoduchá, jednoduchá číslo ukrýva mnoho nevyriešených záhad v sebe.

Eukleidův veta hovorí, že nekonečný počet prvočísel, a Eratosthenes prišiel s špeciálnou aritmetické "sito", čo eliminuje komplikované čísla, takže len jednoduchý.

Jeho podstatou je zdôrazniť Undelete prvé číslo, a v následnom škrtnutím tie, ktoré sú násobkami toho. My Opakujte tento postup niekoľkokrát - a získať tabuľky prvočísel.

Základná veta aritmetiky

Medzi pozorovaním prvočísel je potrebné špeciálne spomenúť základné aritmetické teorém.

Základná aritmetika teorém hovorí, že ľubovoľné celé číslo väčšie ako 1, alebo jednoduchý alebo môže byť rozložený do súčin prvočísel až do poradia opakovaní faktorov, jediná cesta.

Základná veta aritmetiky ukázala pomerne ťažkopádne a porozumenia to nie je ako len základy.

Na prvý pohľad prvočísel - základný koncept, ale nie je tomu tak. Fyzika tiež kedysi považované za základnú atóm, až našla vnútri vesmíru. Prvočísla venoval krásny príbeh matematik Don Zagier "Prvých päťdesiat miliónov prvočísel."

Od "tri jablká" na deduktívne zákonov

Ktorý skutočne možno nazvať posilnený základ celej vedy - zákony aritmetiky. Už ako dieťa všetko aritmetický tvár, študuje počet nôh a paží na bábiky, počet kociek, jablká, a tak ďalej. D. Takže budeme študovať aritmetika, ktorý potom postupuje do zložitejších pravidiel.

Celý náš život nás zoznamuje s pravidlami aritmetiky, ktoré boli pre obyčajného človeka najužitočnejšie všetkej tej vede dáva. Štúdium čísel - to je "Aritmetický-dieťa", ktorá zavádza človeka k svetu čísel ako číslice v ranom detstve.

Vyššia Arithmetic - deduktívne veda, ktorá študuje zákony aritmetiky. Väčšina z nich vieme, aj keď možno nevieme, ich presné znenie.

Zákon o sčítaní a násobenie

Akékoľvek dve celé čísla A a B môžu byť vyjadrená ako suma a + b, ktorý je tiež prirodzené číslo. Čo sa týka pridávania týchto zákonov:

• Komutatívna, ktorý hovorí, že permutácie podmienok umiestni množstvo nemení, alebo + b = b + a.
• Asociatívne tým, že súčet nezávisí od spôsobu zoskupenia podmienok v miestach, alebo + (b + c) = (a + b) + c.

Pravidlá aritmetiky, ako je pridanie, - jeden zo základných, ale sú použité všetky vedy, nehovoriac o každodenný život.

Akékoľvek dve celé čísla a a b môžu byť vyjadrené v produkte, alebo b * a * b, ktorý je tiež prirodzené číslo. Ak chcete aplikovať prípravok rovnaké komutatívna a asociatívne zákon, pokiaľ ide o pridanie:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Je zaujímavé, že existuje zákon, ktorý v sebe spája sčítanie a násobenie, tiež známy ako distribučné alebo distribučného zákona:

a (b + c) = ab + ac

Tento zákon nás učí pracovať s držiakmi, ich otvorenie, teda už vie pracovať s viacerými zložité vzorce. Sú to zákony, ktoré nás povedú cez kuriózne, ale zložitom svete algebry.

Zákon aritmetika objednávky

o zákonoch ľudskej logiky používa každý deň, pozrel sa na hodinky a počítanie bankoviek. A napriek tomu, a to by sa malo uskutočniť do určitého jazyka.

Ak budeme mať dva pozitívne celé čísla a, b, potom nasledujúce možnosti:

• a presne B, alebo A = B;
• menej ako b, alebo
• a je väčšia ako b, alebo> b.

Z troch možností len môže byť len jeden. Základný zákon, ktorý upravuje postup, povedal: Ak je a

Existujú tiež zákony, ktoré sa viažu akcie poradie sčítanie a násobenie: v prípade,

Zákony aritmetiky nás naučila pracovať s číslami, znakmi a držiakov, obrátil všetko do harmonickej symfónie čísel.

Pozičný a nonpositional systém číslovania

Dá sa povedať, že čísla - to je jazykom matematiky, z pohodlia je závislá na mnohých faktoroch. Existuje veľa systémov výpočtu, ktoré, podobne ako abecedy rôznych jazykov líšia.

Zoberme si číselnú sústavu z hľadiska polôh dopadu na kvantitatívne hodnoty číslice v tejto polohe. Napríklad, rímsky systém je nonpositional kde každé číslo kódovaný určitú sadu špeciálnych znakov: I / V / X / L / C / D / M sú, v tomto poradí, čísla 1/5/10/50/100/500 / 1000. V tomto systéme, tento údaj sa nemení jej kvantitatívne stanovenie v závislosti na tom, čo v pozícii by mal: .. Prvý, druhý, atď. Ak chcete získať ďalšie čísla, je nutné stanoviť základňu. napríklad:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Ďalšie poznáme číselná sústava arabskými číslicami je pozičné. V takomto systéme je počet vypúšťanie definuje počet číslic, napríklad tri číslice čísla: 333, 567, atď Hmotnosť ktoréhokoľvek z výboja závisí od polohy, na ktorom obrázok predstavuje jeden alebo iné, ako napríklad na obrázku 8 v druhej polohe má hodnotu 80. To je typický pre desiatkovej sústave, existujú ďalšie pozičný systém, ako je binárny.

binárne aritmetické

Sme oboznámení desiatkový systém, skladajúci sa z jedno-bitových a multi-bitovými číslami. Na obrázku naľavo počtu číslica je desaťkrát väčšie v dôležitosti pre ten na pravej strane. Takže sme boli zvyknutí čítať 2, 17, 467 a tak ďalej. D. Je to iná logika a prístup úsek, ktorý sa nazýva "binárne aritmetické operácie." To nie je prekvapujúce, pretože binárny aritmetika nie je vytvorená pre ľudskú logiku, a pre počítač. Ak je aritmetický čísiel pochádzal z počítania, čo ďalej odoberané z predmetu majetku "nahý" aritmetický, potom to nebude pracovať s počítačom. Aby bolo možné zdieľať svoje znalosti s počítačom, človek musel vymyslieť modelový prepočet.

Binárne aritmetika pracuje s binárne abecedou, ktorý sa skladá iba z 0 a 1. A Použitie tohto abeceda sa nazýva binárny systém.

Na rozdiel od binárne aritmetické desatinnej čiarky, že význam polohy vľavo už 10 no a 2 krát. Binárne čísla sú v tvare 111, 1001 a tak ďalej. D. Ako by sme mali chápať tieto čísla? Preto sme sa vziať do úvahy počet 1100

1. Prvý znak zľava - 1 * 8 = 8, pričom sa vezme do úvahy, že štvrtá číslica, čo znamená, že musí byť násobí 2, dostaneme pozíciu 8.
2. Druhá číslica 1 * 4 = 4 (poloha 4).
3. Tretia číslica 0 * 2 = 0 (pozícia 2).
4. Štvrtá číslica 0 * 1 = 0 (poloha 1).
5. Takže naše číslo 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

To znamená, že prechod na novú kategóriu na ľavej strane jeho významu v binárnom systéme sa násobí 2 a desatinné - do 10. Takýto systém má jednu nevýhodu: je to príliš veľký rast bitov, ktoré sú nutné pre záznam čísla. Príklady desatinné čísla dvochinyh, ako je vidieť v nasledujúcej tabuľke.

Desatinné čísla sú zastúpené v binárnom tvare nižšie.

Používa sa tiež osmičkové a hexadecimálne systém číslovania.

Tento tajomný aritmetický

Aký je aritmetický, "dva plus dva", alebo nepreskúmané tajomstvo čísel? Ako môžete vidieť, aritmetika, moci, a zdá sa na prvý pohľad jednoduché, ale nie je zrejmé, klamlivá ľahké. Je možné študovať detí, a spoločne s tetou sova z kreslených "Arithmetic-dieťa", a môžete sa ponoriť do hlbokého vedeckého výskumu takmer filozofické objednávky. V histórii to preč od počítanie objektov na uctievanie krásy čísel. Jedna vec je istá: s vytvorením základných postulátov aritmetiky, to všetko veda môže spoľahnúť na jej silné rameno.